A resolução de problemas no ensino da Geometria é extremamente importante para o aluno, principalmente a três níveis: conhecimentos, capacidades e atitudes.

Ao nível dos conhecimentos, permite uma melhor consolidação destes e propicia ao aluno o desenvolvimento de um nível cognitivo mais elevado, enquanto que, ao nível das capacidades, o aluno ao resolver problemas em Geometria vai fortalecer a sua auto-confiança e auto-realização.

Bastante importante é também a atitude do aluno perante a Geometria e que pode ser adquirida com a resolução de problemas. Estes permitem-lhe ter uma visão mais ampla da Geometria, perceber a sua relevância e o seu poder.

É sabido que a gente jovem gosta de desafios e de situações que despertem a sua curiosidade. Ora os problemas vêm ao encontro do gosto dos jovens, porque os desafios que têm aparecido ao longo do tempo na Geometria, têm sido sob a forma de problemas. Por outro lado, os problemas permitem que os jovens se apercebam da relação da Geometria com o dia-a-dia.

"A educação matemática não é mais do que o desenvolvimento da capacidade matemática e não existe actividade matemática sem problemas."

A. Krigowska, 1970

"Os problemas são a força motriz da Matemática. Um bom problema é aquele cuja solução, em vez de simplesmente conduzir a um beco sem saída, abre horizontes inteiramente novos."

Ian Stewart, 1987

1.   Três aldeias situam-se nos três vértices de um triângulo equilátero de lado 1 km. A Companhia dos Telefones vai fazer uma nova instalação de cabos ligando as três aldeias. Qual das quatro soluções representadas na figura é mais económica?

2. No Parque de Bonsanto há um grande lago artificial de forma circular que tem a meio uma ilha também circular. É possível alugar barcos a remos e o dono dos barcos garante que é possível remar 160 m em linha recta. Qual é a área do lago?

3. Qual a área da região que fica entre três circunferências tangentes, todas com o mesmo raio?

4. Três cilindros de vidro, todos com um metro de diâmetro, estão empilhados como mostra a figura. Um inseto pousou sobre o cilindro superior. A que altura se encontra o inseto?

Tente encontrar semelhanças, se é que existem, entre os dois problemas anteriores.

5. Qual é a razão entre os lados dos dois triângulos da figura?

6. O triangulo de Sierpinski é um fractal que se constrói da maneira que está ilustrada na figura:

Se a área do primeiro triângulo for 1, quais são as áreas a branco nos outros triângulos?

E as áreas a negro?

7. Um lavrador tem 180 l de azeite acabado de produzir no lagar. A única alternativa de que dispõe para o armazenar é um depósito de forma cúbica, com 6 dm de aresta. Verifica, à última hora, que o recipiente tem três furos: um num vértice e outros dois no meio de duas das suas arestas. É possível meter nele todo o azeite sem derramar nenhum?

8. De um dos vértices do quadrado partem duas rectas que dividem o quadrado em três regiões de áreas exatamente iguais. Em que razões cortam estas linhas os lados do quadrado?

9. Cada um dos dois lados iguais de um triângulo isósceles tem uma unidade de comprimento. Sem fazer cálculos, achar o comprimento do terceiro lado que maximiza a área do triângulo. 

10. O casal Novo Rico estava a mudar-se para um novo apartamento num condomínio de luxo. Mas, no dia da mudança, aperceberam-se de que o único acesso para a sua nova casa era através de um corredor que tinha um curva em ângulo reto. Será que a sua preciosa mesa de jantar, uma verdadeira antiguidade, iria caber no corredor, para já não falar na curva? Mas os encarregados da mudança desmontaram a mesa em duas partes iguais, cada uma com 3 pernas e conseguiram fazê-la entrar à justa, mantendo sempre o tampo na horizontal. Qual era a forma e a área do tampo da mesa, sabendo que este era o maior que seria possível fazer passar no corredor?

11. Dois escadotes de igual comprimento estão encostados um ao outro no extremo superior, formando um V invertido, com as suas bases separadas 4m. Quando uma pessoa sobe 3m por um dos escadotes, o degrau em que se apoia encontra-se a distâncias iguais do cimo do escadote e da base do escadote oposto. Quanto medem os escadotes?